一种静止轨道卫星小推力长期位置保持方法与流程

本发明涉及一种静止轨道卫星小推力长期位置保持方法,尤其涉及静止轨道卫星的长期运动规律分析，轨道面内/面外的小推力位置保持等重要技术，属于航天器轨道动力学与控制领域。

背景技术：

运行在地球静止轨道(geostationaryorbit,geo)上的航天器，具有覆盖面积大，且相对于地面静止的特点，具有极高的经济价值。地球静止轨道航天器的发展主要呈现出三“大”趋势：一是航天器携带的柔性部件越来越大(50米长太阳帆板、百米级天线、2米以上双机械臂等)；二是航天器本体将越来越大，其质量高达数十甚至上百吨；三是，经济体量越来越大，geo上的通信卫星等航天器本身造价几十亿人民币，每年产生的经济效益更为可观。

由于静止轨道的摄动规律，单颗静止轨道卫星占有的赤道经度约为±0.1度,故理论上最多只能有1800颗静止轨道卫星同时在轨运行。但随着航天发射的增多，高轨上的失效航天器等空间碎片对大型复杂的静止轨道卫星的影响和潜在威胁已不可忽视。静止轨道卫星通过位置保持保障其正常功能，但越发复杂的空间环境和越加精细的在轨任务对静止轨道的位置保持任务提出了更高的要求。

geo卫星的位置保持分为脉冲式位置保持和小推力位置保持两种。提供小推力的电推进系统具有高比冲的特点，相对于提供脉冲推力的化学推进系统，燃料消耗更小，对提升卫星有效载荷、延长卫星在轨时间具有重要作用。

已有的部分文献所设计的小推力位置保持方法旨在通过高效的优化算法消除由轨道摄动引起的轨道漂移，保证静止轨道卫星在定点窗口的位保精度。文献(frederikj.debruijn,stephantheil,danielchoukroun,eberhardgill,geostationarysatellitestation-keepingusingconvexoptimization,journalofguidancecontrolanddynamics,39(3),2016,pp.605-616)将小推力位置保持问题转化为凸优化问题，提出了一种闭环控制律，但仅能在数天的控制周期里进行高精度位置保持。文献(shugezhao,piniguifil,jingruizhang,initialcostatesforlow-thrustminimum-timestationchangeofgeostationarysatellites,journalofguidancecontrolanddynamics,39(12),2016,pp.2745-2754)针对静止轨道卫星调相的时间最优问题提出了一种协态初值猜测方法，但相关方法基于特定假设，仅在某几类情况中具有较好的收敛性。目前的位置保持策略侧重抵消静止轨道摄动对卫星运动的影响，未充分利用卫星摄动运动的长期特性；另一方面，缺乏一套具有较强普适性的协态初值猜测方法来提升位置保持优化算法的收敛稳定性和收敛速度。

技术实现要素：

本发明的目的是为了提供一种静止轨道卫星小推力长期位置保持方法，该方法首先通过静止轨道卫星长期轨道演化的分析方法，发现静止轨道卫星的周期性运动规律。再在此基础上，提供一种小推力位置保持控制律的设计方法，既能延长静止轨道卫星的位置保持周期，从而降低地面测控站实施卫星控制的人力成本和设备损耗，又能降低燃料消耗，从而延长卫星在轨寿命，普遍适用于地球静止轨道电推进卫星。该方法不仅能有效利用卫星长期无控运动的周期特性来规划受控运动，而且能够提供具有普适性的协态初值猜测方法来保证位置保持优化算法的收敛性能，从而实现长期位置保持。

本发明的目的是通过以下技术方案实现。

本发明公开的一种静止轨道卫星小推力长期位置保持方法，通过球坐标建立卫星轨道面内和面外的平均轨道运动模型；通过相平面分析法给出静止轨道卫星在面内和面外的长周期运动规律；在此基础上，通过选取静止轨道卫星的定点位置保持窗口，获得在定点窗口内卫星无控状态的周期运动轨迹，即漂移段轨迹；设计小推力控制律，获得卫星受控状态下的运动轨迹，即推力段轨迹，使推力段轨迹与漂移段轨迹共同形成一个闭环轨迹，从而完成静止轨道卫星的小推力长期位置保持。

本发明公开的一种静止轨道卫星小推力长期位置保持方法，包括如下步骤：

步骤一：通过球坐标，建立静止轨道卫星受环境摄动作用下的在含轨道面内和面外的空间中的运动模型，并分析静止轨道卫星周期性运动规律；

步骤1.1：建立球坐标描述的仅包含卫星轨道面内运动的二维模型，并分析静止轨道卫星周期性运动规律；

定义天球坐标系，坐标原点在地心，x轴指向春分点，z指向天球北极，y轴的方向符合右手定则。用二维球坐标{r,λ}和三维球坐标{r,λ,φ}分别描述静止轨道卫星在轨道平面内和平面外的运动。其中，r是静止轨道卫星到地心的距离，λ是静止轨道卫星赤经，φ是静止轨道卫星赤纬。

根据运动学规律，静止轨道卫星在轨道面内的加速度表示为如下形式：

其中，ω是静止轨道卫星的升交点赤经。

根据卫星摄动规律，静止轨道卫星的面内运动主要受地球非球形摄动的影响，摄动加速度具有如下形式：

其中，下标enp表示地球非球形摄动，g0是地球引力常数，r0是地球半径；jn是地球非球形摄动的带谐项系数，jnm是地球非球形摄动的田谐项系数，n,m分别表示系数的阶数和次数；γ是静止轨道卫星和地心的连线与赤道面短轴的夹角；xn,ynm,znm表示地球非球形摄动常数。

将公式(1)与公式(2)联立，建立卫星在轨道平面内运动的二维模型，形式如下：

一般情况下忽略公式(3)中的高阶项，仅保留2阶2次项，即n＝2,m＝2，表示为：

将卫星球坐标(r,λ,φ)在基准点(r0,λ0,φ0)处展开，表示为：

其中，δr,δγ为小量。

联立公式(4)与公式(5)，建立卫星在轨道面内运动的二维平均模型

公式(6)具有平衡解，揭示了长期演化下静止轨道卫星在相平面(λ,)的运动轨迹，所述运动轨迹绕两个稳定平衡点和两个不稳定平衡点进行周期性运动。

步骤1.2：建立球坐标描述的在轨道面外运动的三维模型，并分析静止轨道卫星周期性运动规律

根据运动学规律，静止轨道卫星在轨道面外运动的加速度表示为如下形式:

根据卫星摄动规律，静止轨道卫星在轨道面外的运动还受到日月第三体引力的影响，日月第三体引力摄动加速度具有如下形式：

其中，下标lsp表示日月第三体引力摄动，是地月系统中心绕太阳旋转的角速度，是地月系统绕其中心运动的角速度；μ是地球引力常数；ax,ay,bx,by,cx,cy是日月第三体引力系数。

静止轨道卫星在轨道面外的运动同时受到地球非球形摄动和日月第三体引力的影响；联立公式(2)、(7)、(8)建立静止轨道卫星在轨道面外的三维运动模型。

考虑非球形摄动和日月引力摄动作用下的平均哈密顿函数，具有如下形式：

其中ne是地球自转角速度，ae是地球半径，a是卫星轨道半长轴，nbody是第三引力体的自转角速度，主要包含太阳自转角速度ns和月亮自转角速度nm；∈是黄道面和赤道面的夹角，s∈＝sin∈，c∈＝cos∈。

借助平均化后的哈密顿函数分析静止轨道卫星面外运动的周期性规律，通过计算公式(9)的平衡解，得到周期性运动规律，即在轨道长期演化下，静止轨道卫星在相平面(ω,φ)的运动轨迹将绕平衡点进行周期性运动。

步骤二：通过选取静止轨道卫星的定点位置保持窗口，获得在定点窗口内的卫星在无控状态下的长周期运动轨迹，即漂移段轨迹；

国际上定义静止轨道卫星的定点窗口为：在赤经赤纬相平面(λ,φ)内以理想定点位置为中心的矩形邻域。定点窗口的数学模型具有如下形式：

-δλ≤λ-λd≤δλ(10)

-δφ≤φ≤δφ(11)

其中，下标d表示理想定点位置；δλ,δφ表示定点窗口边界与定点窗口中点的距离。

将定点窗口对卫星赤经λ的约束，即公式(10)代入公式(6)；定点窗口对卫星赤纬φ的约束，即公式(11)代入公式(9)，获得卫星在相平面(λ,)和相平面(φ,)内的漂移段轨迹。

步骤三：建立卫星在轨道面内和面外的小推力位置保持控制模型。

步骤3.1建立卫星在轨道面内的小推力位置保持控制模型

考虑小推力和环境摄动的卫星动力学模型的矩阵形式如下

其中，下标2d表示卫星面内运动的二维模型，u表示推力器的开关机常数，t表示推力器提供的推力大小，isp是推力器的比冲。

针对面内运动，是二维模型的状态变量，d2d＝(dr,dλ)t是二维模型的推力方向矢量，是二维模型的推力系数矩阵，是二维模型的摄动系数矩阵。

步骤3.2建立卫星在轨道面外的小推力位置保持控制模型

考虑小推力和环境摄动的卫星动力学模型的矩阵形式如下

其中，下标3d表示卫星面外运动的三维模型针，

是三维模型的状态变量，d3d＝(dr,dλ,dφ)t三维模型的推力方向矢量，是三维模型的推力系数矩阵，是三维模型的摄动系数矩阵。

步骤四：基于步骤二获得的卫星漂移段轨迹和步骤三获得的卫星小推力位置保持控制模型，建立小推力位置保持的时间最优和燃料最优求解模型。

4.1建立推力段轨迹的初末状态约束

为了使得静止轨道卫星始终位于定点窗口，漂移段轨迹和推力段轨迹需构成闭环轨迹；因此推力段轨迹初态点与漂移段轨迹的末态点重合，推力段轨迹末态点与漂移段轨迹的初态点重合；则针对时间、燃料最优模型的初末状态约束表示如下：

步骤4.2建立小推力位置保持的时间最优模型

实现时间最优的目标函数具有如下形式：

其中，下标mt表示时间最优模型。

实现时间最优的哈密顿函数具有如下形式：

定义协态变量为哈密顿函数h对状态变量x和m的偏导，形式如下：

其中，是协态变量的推力系数矩阵，是协态变量的摄动系数矩阵。

利用庞特里亚金极大值原理获得最优推力矢量dmt*的矩阵表达式：

因此，小推力位置保持的时间最优模型表达式如下：

公式(19)需要满足的约束条件如下：

步骤4.3基于步骤4.2的时间最优模型，建立小推力位置保持的燃料最优模型

实现燃料最优的目标函数具有如下形式：

其中，下标mf表示燃料最优模型，ε是同伦系数。

实现燃料最优的哈密顿函数具有如下形式：

定义协态变量为哈密顿函数h对状态变量x和m的偏导，形式如下：

利用庞特里亚金极大值原理可以获得最优推力矢量dmf*的矩阵表达式：

因此，小推力位置保持的燃料最优问题可以用如下形式的数学模型描述：

求解时间最优问题得到的最优转移时间(tf)mt将作为燃料最优问题求解的约束条件之一，所有约束条件如下：

步骤4.4将时间/燃料最优问题转化为两点边值问题。

由公式(19)和(25)可知，任意时刻t的状态变量值和协态变量值为初始时刻状态变量值和协态变量值的函数，如下所示：

[x(t),px(t)]t＝f([x(ti),px(ti)]t,ti,t)(27)

公式(19)和(20)建立的时间最优问题描述为寻找[x(ti),(px)mt(ti)]t使得

[x(tf),px(tf)]t＝f([x(ti),(px)mt(ti)]t,ti,t)(28)

满足

同理，公式(25)和(26)建立的燃料最优问题模型描述为寻找[x(ti),(px)mf(ti)]t使得

[x(tf),px(tf)]t＝f([x(ti),(px)mf(ti)]t,ti,t)(30)满足

因此，时间和燃料最优问题转化成为了两点边值问题。

步骤五：直接求解步骤4.4建立的两点边值问题，并将结果带入步骤四，获得小推力位置保持的时间最优和燃料最优控制律；

步骤六：应用步骤五所述的位置保持控制律，从而实现静止轨道卫星的小推力长期位置保持。

步骤四所述的两点边值问题通过协态初值猜测方法求解：

步骤1、通过初末轨道根数的偏差，计算进行位置保持所需的脉冲推力δv*和脉冲推力的作用位置

步骤2、搜索包含脉冲推力作用经度的连续推力弧段，使卫星能够完成与施加脉冲推力δv*后同样效果的位置保持，并记录连续推力弧度的开机和关机赤经和开机的总时长δt*；利用连续推力fconst及弧段中点计算所对应的协态变量

步骤3以步骤2所得到的协态变量和开机总时长δt*为初始值，代入公式(30)和约束条件(31)，通过不断更新最终获得最优的初始值，从而解决两点边值问题。

有益效果

1.本发明公开的一种静止轨道卫星小推力长期位置保持方法，通过设计卫星无控漂移轨迹结合小推力受控轨迹的完整轨迹，并使其始终位于卫星的定点窗口内，既能延长静止轨道卫星的位置保持周期，从而降低地面测控站实施卫星控制的人力成本和设备损耗，又能降低燃料消耗，从而延长卫星在轨寿命，普遍适用于地球静止轨道电推进卫星。

2.通过建立静止轨道卫星在轨道面内和面外的无控平均运动模型，能够分别获取静止轨道卫星长期轨道演化过程中在面内和面外运动的周期性运动规律，进而为利用卫星无控运动周期性特点规划受控运动轨迹提供了理论依据和技术支撑。

3.本发明公开的一种静止轨道卫星小推力长期位置保持方法，通过设计基于脉冲推力和连续推力解的协态初值猜测方法，能够快速搜索到时间、燃料最优问题下的稳定收敛解，进而解决时间/燃料最优的小推力位置保持问题。

附图说明

图1为一种静止轨道卫星小推力长期位置保持方法的总体流程图；

图2为小推力燃料最优位置保持控制律设计的流程图；

图3为静止轨道卫星面内运动的周期性规律；

图4为静止轨道卫星面外运动的周期性规律；

图5a为静止轨道卫星在(λ,)相平面内的位置保持轨迹；

图5b为图5a中圆圈处的局部放大图；

图6a为静止轨道卫星在(φ,)相平面内的位置保持轨迹。

图6b为图6a中箭头所指处的局部放大图。

具体实施方式

为了更好地说明本发明的目的和优点，下面结合附图对本发明的具体实施方式作进一步详细的说明。

实施例1：

如图1所示，本实施例公开的一种静止轨道卫星小推力长期位置保持方法，为验证该方法，首先，选取运行在地球静止轨道上的一颗卫星作为主要研究对象。卫星的基本参数如下表所示。

表1卫星参数

步骤一：通过球坐标，建立静止轨道卫星受环境摄动作用下的在含轨道面内和面外的空间中的运动模型，并分析静止轨道卫星周期性运动规律；

用于计算地球非球形摄动的带谐项和田谐项系数如下表所示：

表2地球引力场主项系数

将表1和表2的参数带入面内运动的平均模型(即公式(6))，可获得两个稳定平衡解λ1＝75.5°,λ2＝255.5°和两个不稳定平衡解λ3＝165.5°,λ4＝345.5°。仿真结果如图2所示。图2揭示了静止轨道卫星面内运动的周期性规律，即位于相平面任意一点(λk,)在进行轨道长期演化后，都将形成一条绕稳定平衡点(如图3中的红线、黄线)或不稳定平衡点(如图3中的蓝线、绿线)的具有周期性的运动轨迹。而本实例中位于经度λ＝60°的静止轨道卫星在相平面(λ,)将围绕平衡点(λ1＝75.5°，)进行周期性运动。

表3日月引力摄动相关系数

将表3的参数带入面外运动的平均哈密顿函数(即公式(9))，可获得一个平衡解(ω＝0°,φ＝7.435°)，仿真结果如图3所示。图3揭示了静止轨道卫星面外运动的周期性规律，即位于相平面任意一点(λk≤14.6°,)在进行轨道长期演化后，都将形成一条绕稳定平衡点(ω＝0°,φ＝7.435°)的具有周期性的运动轨迹，对本实例中位于纬度φ＝0.5°的静止轨道卫星同样适用。

步骤二：通过选取静止轨道卫星的定点位置保持窗口，获得在定点窗口内的卫星在无控状态下的长周期运动轨迹，即漂移段轨迹；

根据国际上对单颗静止轨道卫星占有定点经度的共识，本算例选取静止轨道卫星定点窗口包含的经度区间为[0°，0.1°]；根据静止轨道卫星面外运动的周期性规律，本算例选取静止轨道卫星定点窗口包含的纬度区间为[0°，0.5°]。因此,定点窗口表示为：

将公式(32)与公式(6)、(9)联立，获得静止轨道卫星在相平面(λ,)和相平面(ω,φ)内的周期性运动轨迹。通过计算得到无控漂移段轨迹在相平面(λ,)的初末状态值分别为

无控漂移段轨迹在相平面(φ,)的初末状态值分别为

下面进行的步骤三、四、五共同组成了小推力最优时间/燃料位置保持控制律的设计环节，具体流程如图4所示。

步骤三：建立卫星在轨道面内和面外的小推力位置保持控制模型；

实例中的静止轨道卫星搭载电推进系统，电推力器可对卫星产生常值连续小推力，推力幅值为t＝200mn，比冲为isp＝3800s。将相关参数带入公式(12)和公式(13)，即获得静止轨道卫星在轨道面内和面外的小推力位置保持控制模型。

步骤四：基于步骤二获得的卫星漂移段轨迹和步骤三获得卫星小推力位置保持控制模型，建立小推力位置保持的时间最优和燃料最优求解模型。

为了使得静止轨道卫星始终位于定点窗口，漂移段轨迹和推力段轨迹需构成闭环轨迹；因此推力段轨迹初态点与漂移段轨迹的末态点重合，推力段轨迹末态点与漂移段轨迹的初态点重合；因此时间、燃料最优模型的初末状态约束为

将初末状态约束分别带入时间和燃料最优模型的约束条件，即公式(20)和公式(26)，所建立的时间和燃料最优模型即转化为两点边值问题。

步骤五：直接求解步骤4.4建立的两点边值问题，并将结果带入步骤四，获得小推力位置保持的时间最优和燃料最优控制律；

通过直接求解两点边值问题，获得的协态初值和开机总时长为：

将公式(33)所述的协态初值和开机总时长带回步骤四，获得小推力位置保持控制律；

步骤六：应用步骤五所述的位置保持控制律，从而实现静止轨道卫星的小推力长期位置保持。

实施例2：

实施例2的前四步与实施例1的前四步相同。

步骤五：通过协态初值猜测方法求解步骤四所述的两点边值问题，并将结果带入步骤四可获得小推力位置保持的时间最优和燃料最优控制律：

步骤5.1：通过初末轨道根数的偏差，计算进行位置保持所需的脉冲推力δv*＝5.987m/s和脉冲推力的作用位置

步骤5.2：搜索包含脉冲推力作用经度的连续推力弧段，使卫星能够完成与施加脉冲推力δv*＝5.987m/s后同样效果的位置保持，并记录连续推力弧度的开机和关机赤经和开机的总时长δt*＝47649s；利用连续推力fconst＝200mn及弧段中点计算所对应的协态变量

步骤5.3：以步骤5.2所得到的协态变量和开机总时长δt*＝47649s为初始值，代入公式(30)和约束条件(31)，通过不断更新最终获得最优的初始值(px**,δt**)。

从而解决两点边值问题。

将公式(34)所述的最优协态初值和开机总时长带回步骤四，获得小推力位置保持的时间最优和燃料最优控制律；

步骤六：应用步骤五所述的位置保持控制律，从而实现静止轨道卫星的小推力长期位置保持。

通过比较公式(33)和(34)，使用了本发明公开的协态初值猜测方法的开机总时长明显小于直接求解两点边值问题获得的开机总时长，时间短则燃料消耗少，因此本发明公开的协态初值猜测方法具有更好的性能。

图5表示应用了本发明公开的一种静止轨道卫星小推力长期位置保持方法后，位于λ＝60°的静止轨道卫星在相平面(λ,)的完整轨迹。漂移段1代表卫星由初始位置在无控状态下的第一段漂移轨迹，当卫星到达定点窗口上界λ-60°＝0.1°，如若继续保持无控状态，卫星将漂出定点窗口0°≤λ-60°≤0.1°，因此采用推力段1使卫星机动到漂移段1的起始点；继而可继续在无控状态下形成第二段漂移轨迹，直到卫星再次到达定点窗口的上界λ-60°＝0.1°，再实施第二次小推力控制，形成推力段2；如此循环往复，形成静止轨道卫星面内运动的长期位置保持策略。

图6表示应用了一种静止轨道卫星小推力长期位置保持方法后，位于φ＝0.5°的静止轨道卫星在相平面(λ,)的完整轨迹。漂移段1代表卫星由初始位置在无控状态下的第一段漂移轨迹，运动趋势是从φ＝0.5°降低到φ≈0°再增加φ＝0.5°；此时若继续保持无控状态，卫星将漂出定点窗口0°≤φ≤0.5°，因此采用推力段1改变φ的变化趋势；继而卫星可继续在无控状态下形成第二段漂移轨迹，直到卫星再次到达定点窗口的上界φ＝0.5°，再实施第二次小推力控制，形成推力段2；如此循环往复，形成静止轨道卫星面外运动的长期位置保持策略。

表4给出了本发明设计的位置保持方法的性能指标。传统小推力位置保持方法旨在克服环境摄动，因而控制频率是一天一次乃至一天多次。而本实施例公开的一种静止轨道卫星小推力长期位置保持方法，利用卫星长期无控运动的周期性规律，设计的长期控制策略使控制周期得到大幅延长，控制周期的延长意味着地面卫星测控站实施卫星控制的人力成本和设备损耗得到进一步降低。以本实例定点在0°≤λ-60°≤0.1°，0°≤φ≤0.5°的静止轨道卫星为例，其经度控制周期是一个月(31.82天)，纬度控制周期甚至超过了一年(433天)。因此，本方法能够实现静止轨道卫星的小推力长期位置保持，且相较于传统方法具有更优的控制性能。

表4静止轨道卫星小推力长期位置保持方法性能指标

综上所述，以上仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。