概率论公理化体系的建立

　　早在拉普拉斯给出概率的古典定义之前，人们就提出了几何概率的概念，这是研究有无穷多个可能结果的随机现象问题的，著名的布丰（曾译蒲丰）投针问题 (1777)就是几何概率的一个早期例子。19世纪，几何概率逐步发展起来。但到19世纪末，出现了一些自相矛盾的结果。以著名的贝特朗悖论为例：在圆内任作一弦，求其长超过圆内接正三角形边长的概率。此问题可以有三种不同的解答：①由于对称性，可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径，只有交直径于 1/4点与3/4点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。设所有交点是等可能的，则所求概率为 1/2(图1之a)图② 由于对称性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～120°之间,其长才合乎要求。设所有方向是等可能的，则所求概率为1/3(图 1之b)。③弦被其中点位置惟一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。设中点位置都是等可能的，则所求概率为1/4（图1 之c）。这个问题之所以有不同解答,是因为当一随机试验有无穷多个可能结果时，有时很难客观地规定“等可能”这一概念。这反映了几何概率的逻辑基础是不够严密的。几何概率这类问题说明了拉普拉斯关于概率的古典定义带有很大的局限性。当严密的概率公理化系统建立后，几何概率才能健康地发展且有广泛的应用。

　　虽然到了19世纪下半叶，概率论在统计物理学中的应用及概率论的自身发展已突破了概率的古典定义，但关于概率的一般定义则始终未能明确化和严格化。这种情况既严重阻碍了概率论的进一步发展和应用，又落后于当时数学的其他分支的公理化潮流。1900年,D.希尔伯特在世界数学家大会上公开提出了建立概率论公理化体系的问题,最先从事这方面研究的是（J.-）H.庞加莱、(F.-É.-J.-) É.波莱尔及С.Η.伯恩斯坦。关于概率论与测度论有联系这一重要思想就出自波莱尔。伯恩斯坦于1917年构造了概率论的第一个公理化体系。20年代以后，相继出现了 J.M.凯恩斯及R.von米泽斯等人的工作。凯恩斯主张把任何命题都看作是事件。例如,“明天将下雨”，“土星上有生命”,“某出土文物是某年代的产品”,等等。他把一事件的概率看作是人们根据经验对该事件的可信程度，而与随机试验没有直接联系，因此，通常称为主观概率。从凯恩斯起，对主观概率提出了几种公理体系，但没有一种堪称权威。也许，主观概率的最大影响不在概率论领域自身，而在数理统计学中近年来出现的贝叶斯统计学派。和主观概率学派相对立的是以米泽斯为代表的概率的频率理论学派。米泽斯把一事件的概率定义为该事件在独立重复随机试验中出现的频率的极限，并把此极限的存在性作为他的第一条公理。他的第二条公理是，对随机选取的子试验序列，事件出现的频率的极限也存在并且极限值相等。

　　严格说来，这第二条公理没有确切的数学含义。因此，这种所谓公理化在数学上是不可取的。此外，象某个事件在一独立重复试验序列中出现无穷多次这一事件的概率，在米泽斯理论中是无法定义的。这种频率法的理论依据是强大数律，它具有较强的直观性，易为实际工作者和物理学家所接受。但随着科学的进步，它又已逐渐被绝大多数物理学家所抛弃。

　　20世纪初完成的勒贝格测度（见测度论）和勒贝格积分理论以及随后发展起来的抽象测度和积分理论，为概率论公理体系的确立奠定了理论基础。人们通过对概率论的两个最基本的概念即事件与概率的长期研究，发现事件的运算与集合的运算完全类似，概率与测度有相同的性质。到了30年代，随着大数律研究的深入，概率论与测度论的联系愈来愈明显。例如强、弱大数律中的收敛性(见概率论中的收敛) 与测度论中的几乎处处收敛及依测度收敛完全类似。在这种背景下，柯尔莫哥洛夫于1933年在他的《概率论基础》一书中第一次给出了概率的测度论式的定义和一套严密的公理体系。这一公理体系着眼于规定事件及事件概率的最基本的性质和关系，并用这些规定来表明概率的运算法则。它们是从客观实际中抽象出来的，既概括了概率的古典定义、几何定义及频率定义的基本特性，又避免了各自的局限性和含混之处。这一公理体系一经提出，便迅速获得举世的公认。它的出现，是概率论发展史上的一个里程碑，为现代概率论的蓬勃发展打下了坚实的基础。