现代概率论的内容

　　由于科学技术中许多实际问题的推动以及概率论逻辑基础的建立，概率论从20世纪30年代以来得到了迅速的发展。

　　目前其主要研究内容大致可分为极限理论，独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程和时间序列，鞅和随机微分方程，点过程等。此外，包括组合概率（用组合数学方法解决只涉及有限个基本事件的概率问题）、几何概率等在内的一些属于古典范畴的问题，至今仍有人在继续研究，并有新的发展。

　　极限理论是研究与随机变量序列或随机过程序列的收敛性有关的问题的理论。20世纪30年代以后，有关随机变量序列的极限理论（主要是中心极限定理）的研究，是将独立序列情形的结果推广到鞅差序列和更一般的弱相依序列等情形，以及研究收敛速度问题。近年来，由于统计力学的需要，人们开始研究强相依随机变量序列的非中心极限定理。

　　自1951年M.唐斯克提出不变原理（见随机过程的极限定理）后，有关随机过程序列的弱收敛的研究成了极限理论的一个中心课题。ю.Β.普罗霍洛夫及A.B.斯科罗霍德在这方面作出了最主要的贡献。1964年V.斯特拉森的工作出现后，引起了有关随机过程序列的强收敛的研究，这就是强不变原理。近年来，鞅论方法已渗透到这一领域,使许多经典结果的证明得到简化和统一处理,并且还导致一些新的结果。

　　人们最早知道的独立增量过程是在物理现象中观察到的布朗运动和泊松过程，一般的独立增量过程的研究，归功于莱维，它在20世纪40年代已臻成熟。在这些研究中，包含了许多重要的方法和概念，概率论的许多近代研究课题都直接或间接地受其启发与影响。

　　在实际中遇到的很多随机现象有如下的共同特性：它的未来的演变，在已知它目前状态的条件下与以往的状况无关。描述这种随时间推进的随机现象的演变模型就是马尔可夫过程。

　　20世纪50年代以前，研究马尔可夫过程的主要工具是微分方程和半群理论（即分析方法）；1936年前后就开始探讨马尔可夫过程的轨道性质，直到把微分方程和半群理论的分析方法同研究轨道性质的概率方法结合运用，才使这方面的研究工作进一步深化，并形成了对轨道分析必不可少的强马尔可夫性概念。1942 年，伊藤清用他创立的随机积分和随机微分方程理论来研究一类特殊而重要的马尔可夫过程──扩散过程，开辟了研究马尔可夫过程的又一重要途径。近年来，鞅论方法也已渗透到马尔可夫过程的研究中，它与随机微分方程结合在一起，已成为目前处理多维扩散过程的工具。此外，马尔可夫过程与分析学中的位势论有密切的联系。对马尔可夫过程的研究，推动了位势理论的发展，并为研究偏微分方程提供了概率论的方法。最近十多年发展起来的吉布斯随机场和无穷粒子随机系统，是由于统计物理的需要而提出的。

　　许多自然的和生产过程中的随机现象表现出某种平稳性。一种平稳性是过程在任意一些时刻上的联合概率分布随时间推移不变，这种平稳性称为严平稳性。严平稳过程的研究与遍历理论有密切的联系。如果上述对概率分布的要求放宽为仅对二阶相关矩的要求，即过程在任意两时刻上的协方差随时间推移不变，则称这种平稳性为宽平稳性。关于宽平稳过程的研究，辛钦、柯尔莫哥洛夫和维纳等人运用傅里叶分析和泛函分析的工具，在40年代已经找出了过程的相关函数及过程本身的谱分解式，并且较完满地解决了有应用意义的预测问题。许多应用问题还要求根据观测数据去建立这些数据所来自的随机过程的模型。为此产生了时间序列分析这一课题，提出了宽平稳序列的自回归滑动平均(ARMA)模型以及一些非线性模型。

　　鞅是另一类重要的随机过程。从20世纪30年代起，莱维等人就开始研究鞅序列，把它作为独立随机变量序列的部分和的推广。40年代到50年代初，杜布对鞅进行了系统的研究，得到有名的鞅不等式、停止定理和收敛定理等重要结果。1962年，P.A.迈耶解决了杜布提出的连续时间的上鞅分解为鞅及增过程之差的问题。在解决这个问题的过程中，出现了很多新鲜而深刻的概念，使鞅和随机过程一般理论的内容大大丰富起来。鞅的研究丰富了概率论的内容，并引起人们用它所提供的新方法新概念对概率论中许多经典的内容重新审议，把以往认为是复杂的东西纳入鞅论的框架而加以简化。此外，利用上鞅的分解定理，可以把伊藤清的对布朗运动的随机积分推广到对一般鞅乃至半鞅的随机积分；因而，更一般的随机微分方程的研究也随之发展。随机微分方程理论不仅可以用来研究马尔可夫过程，它还是解决滤波问题的必要工具。最近出现的流形上的随机微分方程又和微分几何及分析力学的研究发生了密切的联系。鞅论还对本学科以外的位势理论、调和分析及复变函数论等提供了有用的工具。

　　点过程是从所谓计数过程发展出来的，它们的特点是，可用落在不相重叠的集合上的随机点数目的联合概率分布来刻画整个过程的概率规律。最基本的计数过程是泊松过程，1943年，C.帕尔姆将它作为最简单的输入流应用于研究电话业务问题；1955年，辛钦又以严密的数学观点作了整理和发展。

　　在60年代以前，点过程的研究主要限于泊松过程及其推广的过程。以后，由于大量实际问题的需要以及随机测度论和现代鞅论的推动，进一步把实轴上的点过程（即计数过程）推广到一般的可分完备度量空间上，在内容和方法上都有根本性的进展。