悖论的类型

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 悖论的类型

  悖论主要有逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等。

  罗素的悖论以其简单明确震动了整个数学界,造成第三次数学危机。但是,罗素悖论并不是头一个悖论。老的不说,在罗素之前不久,康托尔和布拉里·福蒂已经发现集合论中的矛盾。罗素悖论发表之后,更出现了一连串的逻辑悖论。这些悖论使人联想到古代的说谎者悖论。即“我正在说谎”,“这句话是谎话”等。这些悖论合在一起,造成极大问题,促使大家都去关心如何解决这些悖论。

  头一个发表的悖论是布拉里·福蒂悖论,这个悖论是说,序数按照它们的自然顺序形成一个良序集。这个良序集合根据定义也有一个序数Ω,这个序数Ω由定义应该属于这个良序集。可是由序数的定义,序数序列中任何一段的序数要大于这段之内的任何序数,因此Ω应该比任何序数都大,从而又不属于Ω。这是布拉里·福蒂1897年3月28日在巴洛摩数学会上宣读的一篇文章里提出的。这是头一个发表的近代悖论,它引起了数学界的兴趣,并导致了以后许多年的热烈讨论。有几十篇文章讨论悖论问题,极大地推动了对集合论基础的重新审查。

  布拉里·福蒂本人认为这个矛盾证明了这个序数的自然顺序只是一个偏序,这与康托尔在几个月以前证明的结果序数集合是全序相矛盾,后来布拉里·福蒂在这方面并没有做工作。

  罗素在他的《数学的原理》中认为,序数集虽然是全序,但并非良序,不过这种说法靠不住,因为任何给定序数的初始一段都是良序的。法国逻辑学家茹尔丹找到—条出路,他区分了相容集和不相容集。这种区分实际上康托尔已经私下用了许多年了。不久之后,罗素在1905年一篇文章中对于序数集的存在性提出了疑问,策梅罗也有同样的想法,后来的许多人在这个领域都持有同样的想法。

发布于 2022-12-30 22:09

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