37%法则的数学过程
假设这片玉米地有N个玉米,数学模型上说,就是先拒掉前面 k 个玉米,不管这些玉米有多大;然后从第 k+1 个玉米开始,一旦看到比之前所有玉米都要大的,就毫不犹豫地选择它。不难看出,k 的取值很讲究,太小了达不到试的效果,太大了又会导致真正可选的余地不多了。这就变成了一个纯数学问题:在玉米总数 n 已知的情况下,当 k 等于何值时,按上述策略选中最大玉米的概率最大?
如何求出最优的 k 值?对于某个固定的 k,如果最适合的玉米出现在了第 i 个位置,k的概率记作P(k)。
用 x 来表示 k/n 的值,并且假设 n 充分大,则上述公式可以写成:
对 -x · ln x 求导,并令这个导数为 0,可以解出 x 的最优值,它就是欧拉研究的神秘常数的倒数—— 1/e
由于 1/e 大约等于 0.37(e ≈2.718281828459),因此这条法则也叫做 37% 法则。