圣彼德堡悖论：一个与哲学相关的数学问题

圣彼德堡悖论是关于不确定性和无穷决策问题中最令人头痛的一个问题。科学家从实际出发，提出了诸多消解这一悖论的有益尝试，比如效用递减论、风险厌恶论、效用上限论和结果上限论等，但它们并没有最终解决这一问题。圣彼德堡悖论的理论模型不仅是一个概率模型，而且其本身就是一个统计的、近似的模型。当实际问题延伸至无穷大的时候，连这种近似也变得不可能了。圣彼德堡悖论是瑞士数学家丹·贝努利于18世纪初提出的，它实际上是一个赌徒与庄家玩掷硬币的游戏。悖论点就出现在赌徒的期望收益无穷大与赌徒参加该赌局的预付赌金是一个常数之间。

游戏规则为：赌徒先预交一定数额的赌金，才能拥有参赌的资格。交完赌金之后，赌徒向空中抛掷一枚没有被做过手脚的硬币。

若第一次掷出反面，赌徒什么也得不到，赌局终止；若第一次掷出正面，庄家给赌徒2元奖金，且赌局继续，赌徒再次掷硬币。

若第二次掷出反面，赌徒就只得拿着第一次掷出正面所得的2元钱退出赌局，赌局结束；若第二次掷出正面，庄家给赌徒4（2×2=4）元奖金，赌局继续，赌徒接着掷第三次硬币。

若第三次掷出反面，赌徒拿着之前所得的4元钱退出赌局，赌局终止；若第三次掷出正面，庄家给赌徒8（2×2×2=8）元奖金，赌徒接着掷硬币。……

如此类推，赌徒既可能运气不好第一次就掷出反面而退出赌局，也可能烧了高香，次次都掷出正面，看着奖金成倍成倍地滚进自己的腰包。问题是，赌徒最多肯付多少钱参加这个游戏？换句话说，就是庄家应将赌徒参加赌局的预付赌金设成多少元？

赌徒最多肯付的钱就是他对该游戏的期望值。那么，赌徒进行这个游戏的期望值是多少呢？答案是：无限大，赌徒肯付出无限量的金钱去参加这个游戏。即无论庄家将预付赌金设成多少元，赌徒都会觉得这个赌博始终对自己是有利的，哪怕倾家荡产也会投身其中。原因如下：因硬币没有被做过手脚，所以硬币落地后，不是正面就是反面。即赌徒第一次掷出正面的可能性为1/2，获得2元奖金的可能性也为1/2。赌徒得4元奖金的条件是：第一次和第二次均掷出正面，即得4元奖金的可能性为1/4。赌徒得8元奖金的条件是：第一次、第二次和第三次均掷出正面，即得8元奖金的可能性为1/8……

假设赌徒需交给庄家的预付赌金为X元，则赌徒参加这场赌局的期望收益为：2×1/2+4×1/4+8×1/8+……-X

很显然，减号前面是一个无穷级数的和，就是说进行这样一个赌博的期望收益为无穷大，换言之，无论庄家提出的预付赌金为多高，赌徒在赌博与不赌博两个策略之间的合理选择都是前者，因为赌徒付给庄家的预付赌金是一个有限的数字，以一个有限大的付出博得一个无穷大的收益，当然是合算的。但实际上是这样的吗？

肯定不是，要真是这样的话，开设这种赌局的庄家早就应该破产了。这个游戏实际上就构成了一个悖论。

在实际对局中，根据概率，赌徒想通过一长串的连续掷出正面来赢得一大笔奖金的可能性是极为渺茫的，而失去预付赌金的可能性却是极高的，因此，在庄家提出的预付赌金的数额较高的情况下，赌徒选择参加赌博是不明智的、不合理的。

假设庄家提出的预付赌金为20元，那么赌徒损失18元的可能性为1/2，损失16元的可能性为3/4，损失12元的可能性为7/8，损失4元的可能性为15/16，而真正赢钱的可能性只有1/16。

圣彼德堡悖论给予我们的启示主要有两点：

——它揭示了人们思维系统自身的矛盾性和不完善性，劝诫我们在解决实际问题的时候，要高度重视决策理论的研究跟实践的关系，建立理论模型既源于实践又不同于实践的观念，而不要被理论模型蒙蔽了眼睛；

——许多悖论问题可以归为数学问题，但同时也是思维科学和哲学问题，我们要多角度对其进行考虑。

贝努利通过对圣彼德堡悖论的分析指出，在风险和不确定条件下，个人的决策行为准则（参加赌博的结果）对于参与者的价值并非是获得最大期望金额值（赌博结果的金钱值），而是为了获得最大期望效用值（参与者对某一结果的主观向往度，即参与者对它的心理价值）。

人不能保证做出的任何一次决策都是理性的，考虑问题的出发点不同，其决策与判断就存在着不同程度的偏差。因为人在不确定条件下做出的决策，不是取决于客观的决策结果本身，而是依据决策结果与自己对此的心理期望的差距。换言之，就是人们在做出决策时，总是以自己的视角或参考标准来衡量，以此来决定采取何种决策。