概率论发展简史

　　概率论有悠久的历史，它的起源与博弈问题有关。16世纪，意大利的一些学者开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题，例如比较掷两个骰子出现总点数为9或10的可能性大小。17世纪中叶，法国数学家布莱兹·帕斯卡尔、P.de费马及荷兰数学家C.惠更斯基于排列组合的方法(见组合数学)研究了一些较复杂的赌博问题，他们解决了“合理分配赌注问题”（即“得分问题”，见概率）、“输光问题”等等。其方法不是直接计算赌徒赢局的概率，而是计算期望的赢值，从而导致了现今称之为数学期望的概念（由惠更斯明确提出）。使概率论成为数学的一个分支的真正奠基人则是瑞士数学家雅各布第一·伯努利,他建立了概率论中第一个极限定理,即伯努利大数律；该定理断言:设事件A的概率P(A)=p(0<p<1),若ηn表示前n次独立重复试验中事件A出现的次数,从而σn/n为事件A出现的频率，则当n→∞时，

　　式中ε为任一正实数。这一结果发表于他死后8年(1713)出版的遗著《推测术》(Ars conjectandi)中。这里所说的事件的概率,应理解为事件发生的机会的一个测度,即公理化概率测度(详见后)。1716年前后,A.棣莫弗对p =1/2情形,用他导出的关于n!的渐近公式(，即所谓斯特林公式)进一步证明了渐近地服从正态分布（德国数学家C.F.高斯于1809年研究测量误差理论时重新导出正态分布，所以也称为高斯分布）。亚伯拉罕·棣莫弗的这一结果后来被法国数学家P.-S.拉普拉斯推广到一般的p(0<p<1)的情形，后世称之为棣莫弗-拉普拉斯极限定理,这是概率论中第二个基本极限定理（见中心极限定理）的原始形式。皮埃尔-西蒙·拉普拉斯对概率论的发展贡献很大。他在系统总结前人工作的基础上，写出了《概率的分析理论》(1812年出版,后又再版6次)。在这一著作中，他首次明确规定了概率的古典定义（通常称为古典概率，见概率），并在概率论中引入了更有力的分析工具，如差分方程、母函数等，从而实现了概率论由单纯的组合计算到分析方法的过渡，将概率论推向一个新的发展阶段。皮埃尔-西蒙·拉普拉斯非常重视概率论的实际应用,对人口统计学尤其感兴趣。继拉普拉斯以后,概率论的中心研究课题是推广和改进伯努利大数律及棣莫弗－拉普拉斯极限定理。在这方面，俄国数学家∏.Л.切比雪夫迈出了决定性的一步，1866年他用他所创立的切比雪夫不等式建立了有关独立随机变量序列的大数律。次年，又建立了有关各阶绝对矩一致有界的独立随机变量序列的中心极限定理；但其证明不严格，后来由Α.Α.马尔可夫于1898年补证。1901年Α.М.李亚普诺夫利用特征函数方法，对一类相当广泛的独立随机变量序列，证明了中心极限定理。他还利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。继李亚普诺夫之后，Α.Я.辛钦、Α.Η.柯尔莫哥洛夫、P.莱维及W. 费勒等人在随机变量序列的极限理论方面作出了重要贡献。到20世纪30年代，有关独立随机变量序列的极限理论已臻完备。在此期间,由于实际问题的需要,特别是受物理学的刺激，人们开始研究随机过程。1905年A.爱因斯坦和R.斯莫卢霍夫斯基各自独立地研究了布朗运动。他们用不同的概率模型求得了运动质点的转移密度。但直到1923年，N.维纳才利用三角级数首次给出了布朗运动的严格数学定义，并证明了布朗运动轨道的连续性。1907年马尔可夫在研究相依随机变量序列时，提出了现今称之为马尔可夫链（见马尔可夫过程）的概念；而马尔可夫过程的理论基础则由柯尔莫哥洛夫在1931年所奠定。稍后一些时候，辛钦研究了平稳过程的相关理论(1934)。所有这些关于随机过程的研究，都是基于分析方法，即将概率问题化为微分方程或泛函分析等问题来解决。从1938年开始，莱维系统深入地研究了布朗运动，取得了一系列重要成果，他充分利用概率的直觉性，将逻辑与直觉结合起来，倡导了研究随机过程的一种新方法，即概率方法。这种方法的特点是着眼于随机过程的轨道性质。莱维对概率论的另一重要贡献是建立了独立增量过程的一般理论。他的著作《随机过程与布朗运动》(1948)至今仍是随机过程理论的一本经典著作。现代概率论的另外两个代表人物是J.L.杜布和伊藤清，前者创立了鞅论，后者创立了布朗运动的随机积分理论。

　　在概率发展史中特别值得一提的是柯尔莫哥洛夫在1933年建立了概率论的公理化体系。